[python] 다익스트라 최단 경로 알고리즘 / 플로이드 워셜 알고리즘

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.

• 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류됨 -> 매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정 반복
• 알고리즘의 원리
  1. 출발 노드를 설정한다.
  2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
  5. 위 과정에서 3과 4번을 반복한다.

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그림으로 이해하는 다익스트라 알고리즘

출처 : https://www.youtube.com/watch?v=F-tkqjUiik0

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방법 1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드

시간 복잡도는 O(V^2)

# dijkstra - visted와 최단 거리가 짧은 노드 반환 구현 이용
graph = [[], [(1,2,4), (1,4,6)], [(2,1,3), (2,3,7)], [(3,1,5),(3,4,4)], [(4,3,2)]]


def dijkstra(start):
    distance = np.array([INF] * len(graph))
    visited = np.array([False] * len(graph))

    # 시작 노드에 대해 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    
    for j in graph[start]:
        distance[j[1]] = j[2]
        
    # 시작 노드 제외 n-1 노드에 대해 반복
    for i in range(len(graph) - 1):
        now = get_min_distance(distance, visited)
        visited[now] = True
        
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[2]
            if cost < distance[j[1]]:
                distance[j[1]] = cost
                
    return distance[1:]
            
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호 반환
def get_min_distance(distance, visited):
    return np.where(distance == min(distance[[not i for i in visited]]))[0][0]

for i in range(1, len(graph)):
    print(f"{i}번 노드 : {dijkstra(i)}")
    
# 1번 노드 : [0. 4. 8. 6.]
# 2번 노드 : [3. 0. 7. 9.]
# 3번 노드 : [5. 9. 0. 4.]
# 4번 노드 : [ 7. 11.  2.  0.]

np.where은 tuple로 반환함 [0] 접근 array[0] 

방법 2. 힙을 이용한 개선된 다익스트라 알고리즘

최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 우선순위 큐를 이용하여 대체.

( 위의 get_min_distance() 함수에서 저는 np로 구현했지만, list로 할 시 모든 index 탐색하는 과정을 큐로 대체 )

 

시간 복잡도 O(ElogV)

• 쉽게 구현 하는 방법
  1. 출발 노드 푸쉬 후 거리 설정
  2. 큐가 빌때까지 팝(최단 거리가 짧은 노드)
  3. 현재 노드 거리와 거리 그래프중 최소값으로 설정
  4. 인접한 노드를 확인하면서 거리 그래프 업데이트하는 경우 그 노드 푸시

# dijkstra
import heapq as hq
graph = [[], [(1,2,4), (1,4,6)], [(2,1,3), (2,3,7)], [(3,1,5),(3,4,4)], [(4,3,2)]]

def dijkstra(start):
    distance = np.array([INF] * len(graph))
    
    # 시작 노드에 대해 초기화
    distance[start] = 0
    
    q = []
    hq.heappush(q, (0, start))
    
    while q:
        dist, now = hq.heappop(q)
        
        # 방문 여부 확인
        if dist > distance[now]:
            continue
            
        for i in graph[now]:
            # cost는 start 기준 거리 총합 -> 최단 거리 일 때 distance update하고 그 노드 push
            cost = dist + i[2]
            if cost < distance[i[1]]:
                distance[i[1]] = cost
                hq.heappush(q, (cost, i[1]))
        
        
    return distance[1:]

for i in range(1, len(graph)):
    print(f"{i}번 노드 : {dijkstra(i)}")
    
# 1번 노드 : [0. 4. 8. 6.]
# 2번 노드 : [3. 0. 7. 9.]
# 3번 노드 : [5. 9. 0. 4.]
# 4번 노드 : [ 7. 11.  2.  0.]

다 하고 검토해보았는데 graph 작성 시 출발 노드는 index로 알 수 있으니 작성 할 필요없네요.

잘 배웠습니다 !

 

 

+ 플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 지점에서 다른 모든 지점까지 구할 때
• 다이나믹 프로그래밍
• 점화식이 간단해서 간단하게 구현 가능
• 시간 복잡도 O(N^3)

  # 플로이드 워셜
  INF = 1e9
  input_ = [[], [(2,4), (4,6)], [(1,3), (3,7)], [(1,5),(4,4)], [(3,2)]]
  n = len(input_) - 1
  
  graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n+1)]
  
  # 자기 자신에서 자신은 0
  for a in range(1, n+1):
      for b in range(1, n+1):
          if a == b:
              graph[a][a] = 0
              
  i = 0
  for m in input_:
      for a, b in m:
          graph[i][a] = b
      i+=1
      
          
  # k를 거쳐가는 경우
  for k in range(1, n+1):
      for a in range(1, n+1):
          for b in range(1, n+1):
              # 플로이드 워셜 알고리즘 점화식
              graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
              
  graph = np.array(graph)[1:,1:].astype(int).tolist()
  print(graph) # [[0, 4, 8, 6], [3, 0, 7, 9], [5, 9, 0, 4], [7, 11, 2, 0]]​